罗小明——齐次化巧解圆锥曲线问题

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邹生书，男，1962年12月出生，本科学历，理学士学位，中学数学高级教师，黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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齐次化巧解圆锥曲线问题

湖南省益阳市牌口学校        罗小明

以圆锥曲线中椭圆为例，先介绍齐次化解题的基本特征与一般步骤:

（一）基本特征

1.椭圆上有定点P(x₀,y₀)和动弦AB；

2.题设或结论中涉及PA，PB的斜率之积或斜率之和等情况.如k₁·k₂，k₁+k₂，

1/k₁+1/k₂，1/k₁²+1/k₂²_。

（二）解题步骤

1.设直线方程为m(x-x₀)+n(y-y₀)=1，其中点(x₀，y₀)为两相关直线的交点(这样设直线方程的形式，右边为1对联立齐次化较为方便)；

2.椭圆方程x²/a²+y²/b²=1变形为(x-x₀+x₀)²/a²+(y-y₀+y₀)²/b²=1

即[(x-x₀)²+2x₀(x-x₀)+x₀²]/a²+[(y-y₀)²+2y₀(y-y₀)+y₀²]/b²=1；

3.椭圆变形方程与直线方程联立齐次化：

S(y-y₀)²+P(x-x₀)(y-y₀)+Q(x-x₀)²=0(S≠0)，

即S[(y-y₀)/(x-x₀)]²+P[(y-y₀)/(x-x₀)]+Q=0(S≠0)；

4.由韦达定理得k₁+k₂=-P/S，k₁·k₂=Q/S；

5.根据题设进一步求解.

  题目（2017·全国卷Ⅰ理·20题）

点拨：注意到直线P₂A和P₂B的斜率分别为（y₁-1）/x₁和（y₂-1）/x₂，所以在齐次化之前，须将椭圆标准方程进行适当变形,将变量y变成变量（y-1）.另外为了便于齐次化，设直线l的方程为mx+n（y-1）=1也有一定的技巧性，也是将变量y设成变量（y-1）.这样两次变量替换后，为下一步齐次化做好了准备，我们就不必进行坐标平移来齐次化了.

 法二：平移+齐次化

点拨：因为椭圆上的定点P₁（0,1）不在坐标原点，所以在齐次化过程中先将图像向下平移1个单位，这样使得动直线AB与椭圆的两交点A、B所得动弦AB的两个端点与原点所成直线的斜率为y/x.另外设直线AB的方程为mx+ny=1，这样设便于齐次化，使问题转化为用“齐次化”解圆锥曲线双斜率模型.

  法三：设而不求+分类讨论+韦达定理

点拨：此法采取“设而不求”和“分类讨论”思想，应用韦达定理来求解，是比较常规的解决方法.很显然此法的运算量比方法一和方法二都要大，由此可见“齐次化”在解决圆锥曲线“双斜率问题”有事半功倍之效，但在“齐次化”过程中，有时需要注意变量的适当替换，才能使“齐次化”能够顺利进行.另外，还需说明的一点是当定点不在圆锥曲线上，在解决此类问题时，“齐次化”仍旧能够派上用场.

罗小明，中共党员，中学高级教师，湖南省教育学会中学数学教学研究委员会理事，曾担任益阳市赫山区初中数学教师工作坊研修培训辅导者。长期担任毕业班班主任和学校教育教学管理工作，担任高中毕业班教学四届，初中毕业班教学二十届。辅导学生参加数学竞赛有三十余人次荣获国家二等奖和省市一等奖，撰写的教学论文有多篇荣获省市一等奖，毕业班教学和学校管理经验在市区推广。他的教育理念是：从教的第一天开始就要做到“老老实实做人，踏踏实实做事，坚持教育教学创新与改革，做一名人民满意的教师。”现在是桃李满天下，行行有英才，深受学生与家长爱戴，深受领导与同行的信赖，多次立功受奖。

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